导数 作者：马育民 • 2026-01-10 10:53 • 阅读：10004 # “普通数学”的缺点 传统数学擅长描述 **“静态”** 的东西，比如： - 一个圆的面积 - 一个物体的重量 - 一个房间的温度 但无法描述 **“变化”**： - 速度怎么变？ - 股票怎么变？ - 温度怎么变？ 而现实世界是 **动态的**，不是静态的。 于是人类必须发明一种新的数学工具，来描述 **“变化”**，这就是：**导数** # 介绍 导数就是“变化率”，也就是“一个量变化得有多快” ### 为什么要发明导数？ **因为人类需要一种方法，来精确描述“变化”这件事。** 生活中所有东西都在变化，而 **“变化”** 本身很难描述，于是 **导数** 就被发明出来了。 # 生活例子 ### 1. 开车时，想知道“速度变化得快不快” 开车时，速度表告诉你当前速度是 `60 km/h` 但还想知道： - 我现在是在加速还是减速？ - 加速得快还是慢？ - 再踩一点油门，速度会涨多少？ 这些问题，速度表回答不了。 于是人类发明了 **“加速度”** 这个概念。 而加速度就是：**速度对时间的导数。** ``` 导数 = 变化率 加速度 = 速度的变化率 ``` 所以：导数就是为了描述 **“变化得有多快”** 而发明的。 ### 2. 股票涨跌的“快慢”就是导数 股票： - 今天涨了 2 元 - 昨天也涨了 2 元 看起来一样？ 但其实完全不同： - 昨天是从 10 元涨到 12 元（涨幅 20%） - 今天是从 100 元涨到 102 元（涨幅 2%） 股票价格随时间变化 - 涨得快 → 导数大 - 涨得慢 → 导数小 - 跌得快 → 导数为负且绝对值大 所以你需要一个指标来描述：**价格变化的“快慢”和“幅度”。** 这就是“收益率”，而收益率本质上就是：**价格对时间的导数（变化率）。** ### 3. 温度变化的快慢也是导数 冬天你在屋里开暖气： - 现在 18°C - 一小时后 20°C 你想知道： - 暖气加热效率高不高？ - 再等一小时能到 22°C 吗？ 这需要知道： **温度上升的速率**，这也是导数。 --- 天气变冷： - 温度下降得快 → 导数大（负的） - 温度下降得慢 → 导数小（负的） # 数学上的含义 对于函数 y = f(x)，导数 `dy/dx` 表示： **当 x 变化一点点时，y 会变化多少？** 比如： ``` y = 2x ``` 导数 = `2` 意思是： **x 变 1，y 变 2；x 变 0.1，y 变 0.2** --- # 几何意义（图像上） **导数 = 切线的斜率** 斜率大 → 变化快 斜率小 → 变化慢 斜率为正 → 增加 斜率为负 → 减少 --- # 导数的本质 **导数 = 变化率 导数 = 变化的快慢 导数 = 变化的方向（增加还是减少） 导数 = 下一步会怎样** 导数回答的问题只有一个： **当输入稍微改变一点点，输出会改变多少？** 这是所有动态系统都需要知道的。 # 为什么导数这么重要？ 因为世界上所有有价值的问题都和“变化”有关： - 速度变化 - 温度变化 - 价格变化 - 人口变化 - 信号变化 - 肿瘤生长速度 - 深度学习中的损失变化 **没有导数，就没有现代科学，也没有AI。** --- # 深度学习中的导数 在训练模型时，我们要让损失变小。 导数告诉我们： **参数改变一点点，损失会怎么变？** - 导数为正 → 参数变大，损失变大 → 应该减小参数 - 导数为负 → 参数变大，损失变小 → 应该增大参数 - 导数大 → 步子大一点 - 导数小 → 步子小一点 这就是梯度下降。 --- # 总结 1. **导数 = 变化率** 2. **导数告诉我们：一个量变化得有多快** 3. **没有导数，就无法描述动态世界，也无法训练AI模型** 原文出处：http://malaoshi.top/show_1GW2Z9BmgHme.html